Lär dig Eulers

tags dot 1 comment
2008/10/19
41 words
by Fredrik Olsen

Eulers ekvationer ser ut som följande:

sin left( x right) = frac{1}{2i}left( e^{ix}-e^{-ix} right)

cos left( x right) = frac{1}{2}left( e^{ix}+e^{-ix} right)

Utifrån dessa kan du härleda alla trigonometriska regler hyffsat snabbt, man slipper komma ihåg mer än de här 2 formlerna iaf, till skillnad från att memorera typ 15 trig-regler.

Exempel:

newlinesin ^{4}left( x right) = left( frac{1}{2i}left( e^{ix}-e^{-ix} right) right)^{4}=frac{1}{16}left( e^{ix}-e^{-ix} right)^{2}left( e^{ix}-e^{-ix} right)^{2}=newlinefrac{1}{16}left( e^{i2x}-2+e^{-i2x} right)left( e^{i2x}-2+e^{-i2x} right)=newlinefrac{1}{16}left( e^{i4x}-2e^{i2x}+1-2e^{i2x}+4-2e^{-i2x}+1-2e^{-i2x}+e^{-i4x} right)=newlinefrac{1}{16}left( e^{i4x}+e^{-i4x} right)-frac{4}{16}left( e^{i2x}+e^{-i2x} right)+frac{6}{16}=newlinefrac{2}{16}cos left( 4x right)-frac{8}{16}cos left( 2x right)+frac{6}{16}

Eller en enkel härledning av till exempel cos ^{2}left( x right)

newlinecos ^{2}left( x right) = left( frac{1}{2}left( e^{ix}+e^{-ix} right) right)^{2}=frac{1}{4}left( e^{ix}+e^{-ix} right)^{2}=frac{1}{4}left( e^{i2x}+2e^{ix}e^{-ix}+e^{-i2x} right)=frac{1}{4}left( e^{i2x}+2+e^{-i2x} right)=frac{1}{4}left( e^{i2x}+e^{-i2x} right)+frac{2}{4}=frac{cos left( 2x right)+1}{2}

1 comment

tetris